生物医学の流れに関連する折りたたみチューブ内の座屈臨界圧力 - 済南クリアオーシャンテクノロジーズ株式会社

Scientific Reports volume 13、記事番号: 9298 (2023) この記事を引用

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メトリクスの詳細

人体の潰れた血管や狭窄した血管の挙動は、折りたたみ可能なチューブのような単純化された形状を使用して研究できます。この研究の目的は、ランダウの相転移理論を使用して、折りたたみ可能なチューブの座屈臨界圧力の値を決定することです。この方法論は、実験的に検証された折りたたみチューブの 3D 数値モデルの実装に基づいています。座屈臨界圧力は、壁内圧力と中央断面の面積との関係をシステムの次数パラメーター関数として扱うことにより、システムの幾何学的パラメーターのさまざまな値に対して推定されます。結果は、座屈臨界圧力が折りたたみ可能なチューブの幾何学的パラメータに依存することを示しています。座屈臨界圧力の一般的な無次元方程式が導出されます。この方法の利点は、幾何学的な仮定を必要としないことですが、折りたたみチューブの座屈を 2 次の相転移として扱うことができるという観察のみに基づいていることです。研究された幾何学的パラメータと弾性パラメータは生物医学への応用に適しており、特に喘息などの病態生理学的条件下での気管支樹の研究に興味深いものです。

数学的および数値モデルの観点から、空気または血液の場合における人体の大量輸送を研究できることは、医学と工学の間の橋渡しの最も有益な例の 1 つを表します。数値流体力学 (CFD)、流体構造相互作用 (FSI)、および空気音響モデルの適用により、循環器系 1、呼吸器系 2、3、音声生成プロセス 4、および脳血管系 5 の病態生理学的状態の理解が著しく向上しました。他人。このような数値モデルによって得られた結果の妥当性は、ケース固有の実験キャンペーンによって確認する必要があります。人間の血管の多様性と幾何学的複雑さにより、この重要なステップは非常に困難になる可能性があります。この点に関して、折りたたみチューブ 6、7、8 のような単純化されたモデルは、数値モデルと臨床実践の両方で依然として広く使用されています。簡略化された幾何学にもかかわらず、折りたたみ可能なチューブの現象学は、折りたたまれた血管の最も適切な物理的メカニズムを捉えるのに十分なほど豊富です9。折り畳み式チューブの動力学は、本質的に、チューブの内部（管腔）と外部との間の圧力差として定義される、いわゆる壁内圧に依存する。流体の流れが存在する場合、くびれ近くの流れの加速による追加の寄与を考慮する必要があり、負の静圧領域が生じます。外圧が増加すると（つまり、壁内圧が負圧になると）、チューブは潰れ始めます。壁内圧力の臨界値では、チューブは座屈現象を起こし、断面が 2 つのローブになります (図 1 を参照)。このような値は座屈臨界圧力と呼ばれ、狭窄や狭窄を含む多くの病状の評価と診断に重要な役割を果たします10、11、12。この構成の場合、壁内圧の小さな変動が内腔の面積の大きな変動をもたらします。外圧が増加し続けると（または流れの加速により内圧が減少し続けると）、チューブの内壁が互いに接触し（図 1 を参照）、最終的には内腔が完全に閉鎖します。座屈臨界圧力を患者ごとに正確に推定することで、より多くの情報に基づいた臨床上の意思決定が可能になります。一例として、閉塞性睡眠時無呼吸症候群 (OSA) の患者の咽頭座屈臨界圧が挙げられます。 OSA は、睡眠呼吸障害スペクトルの中で最も一般的な病態です 13。 OSAに罹患した患者は、睡眠中に咽頭の虚脱を繰り返し経験し、無呼吸を引き起こし、患者の生活の質に深刻な影響を及ぼします。病状の重症度の評価と治療法の選択は、咽頭の座屈臨界圧力の値に大きく依存します14。しかし、その推定では、患者は病院で一晩過ごし、継続的に監視される必要があるため、患者にとっては非常に煩わしい経験となり、医療システムに大きな経済的影響を及ぼします15。

より定量的な観点から、この問題はいわゆるチューブの法則、つまり壁内圧力と折りたたみチューブの中央断面の面積の関係の観点から定式化できます (図 1 を参照)。この関係は流れがない場合でも有効であることに注意することが重要です。図 1 の青い円は、遷移が発生する領域を強調表示しています。壁内負圧の絶対値が増加すると、最初に座屈構成への移行が発生します。砂時計型の断面積は、内腔との接触が起こるまですぐにその値を減少させます。管の法則の文脈では、次のように研究課題を述べることができます。折りたたみ可能な管の幾何学的および弾性特性から始めて、図 1 の青い領域の座屈臨界圧力の正確な値を推定することは可能ですか? ? これらの値はそのようなプロパティにどのように依存するのでしょうか? 生物医学の流れに関連する折り畳み式チューブの座屈臨界圧力を推定できる一般方程式を見つけることは可能ですか?

チューブの法則の例 (右)。青い円は、座屈遷移が発生する領域を示します。左側には、座屈前、座屈後、接触後の状態に関する断面が表示されます。面積は、残りの構成に対応する中央断面で正規化されています。

興味深いことに、座屈臨界圧力の問題は、フォンミーゼス 16 によって 1900 年初頭にすでに扱われていました 16 (英語での治療については、ティモシェンコの本を参照できます 17)。彼は、2 つの突出部を持つ座屈断面に関する次の方程式を導き出しました。

この式で、E はヤング率、\(\nu\) はポアソン比、\(\gamma =h/D\) ここで、h は壁の厚さ、D は内径、\(d =l_0/D\) ここで、\(l_0\) はチューブの静止部分の長さです。ただし、この方程式の分析的導出は、強力な幾何学的仮定に依存しています。システムの完全な円筒形状に関する最初の仮定は、より現実的な形状への適用を妨げます。第 2 に、この方程式は薄殻理論に依存しているため、生物医学的流れの対象パラメータ範囲の臨界圧力の値を過大評価しています 18 (「座屈臨界圧力」を参照)。さらに、人間の血管は、式 1 では考慮されていないかなりの事前伸縮 19 (呼吸器系の元の長さの最大 \(60\%\) 20) を受けます。 (1)。したがって、チューブの法則の分析はいくつかの研究の対象となっており、現在、工学 21 と臨床 22 の両方の観点から非常に関連性があります。さまざまな仮定の下で、管の法則のいくつかの解析的導出が提案されています。 Whittaker et al.23 は、等方性の壁内圧力を受ける、予め伸ばされた長い薄壁の折りたたみ可能なチューブの動力学を研究しました。結果として得られる方程式は、小さな変形の仮説の下でのみ有効です。シャピロとその共同研究者らは、定常 24 および非定常 25 流体の流れの存在下での折りたたみチューブの挙動を分析し、その医学 26 および波動伝播現象の分析 27 への応用を分析しました。 Conrad は、折りたたみチューブのダイナミクスを流れ制御された非線形抵抗として記述するための集中パラメーターモデルを提案しました 28。別の集中パラメータモデルは、折りたたみチューブの複雑な流体と構造の相互作用挙動を記述するために Bertram29 によって提案されました。システムの形状が比較的単純であるため、折りたたみチューブの実験研究には長い歴史があります。静脈の自励振動の開始に関する最初の実験的観察は、1824 年に D. Barry によって報告されました (詳細については、Bertram30 による歴史的レビューを参照してください)。最近では、クマール氏と共同研究者によって、非定常外圧下での薄肉チューブの非線形力学が研究されています 21。 Gregory et al.31 は、複数のカメラによる立体視法を使用して、異なる軸方向の予張力を受ける薄肉管の経験的な一般化された管法則を決定しました。このような実験データ 32 は、本研究の結果を実験的に検証するために使用されています。折り畳み式チューブの挙動の多くの側面をほぼ明らかにしたこのような印象的な一連の研究にもかかわらず、座屈臨界圧力の推定は未解決の問題のままです。軸方向のプレストレッチ、壁の厚さ、チューブの長さなどの関連パラメータがチューブの法則に及ぼす影響は、Bertram によって実験的に調査されています 33。最近では、Kozlovsky et al.34 は、実験的に検証された 2D 数値モデルを使用して、流れのない状態での折りたたみチューブの座屈後の挙動に対する壁厚の影響を研究しました。彼らの研究では、座屈臨界圧力は、座屈の開始時に滑らかな膝によって接続される 2 つの線形領域 (図 1 の青い領域) の間の切片を見つけることからなるグラフィカルな方法を使用して、管の法則から推定されました。）。 Zarandi と共同研究者は、流れのない状態での折り畳み式チューブの座屈臨界圧力に対するチューブの長さの影響を分析しました 35。その研究では、座屈臨界圧力の推定は、最初に座屈前の管の法則の線形当てはめを取得し、次にそれを任意の量だけ変位させることによって実行されました。興味深いことに、彼らの結果は式 1 と定性的に一致しません。 (1) 彼らは臨界圧力の長さと直径の比への依存性を \(p^{crit}_{buckl}\sim d^{-3.3}\) として計算しており、これにより追加の調査の必要性がさらに確認されました。

要約すると、この分野における新たな重要な進歩と、その結果としてこれらの分析を臨床実践に拡張する可能性を妨げている 2 つの主な問題は次のとおりです。

チューブの法則 (図 1 にスケッチしたもの) を注意深く分析すると、折りたたみチューブの座屈前と座屈後の状態の間の遷移が連続的であることがわかります。したがって、実際の臨界圧力の推定は簡単ではなく、一般化することがほとんどできないグラフィックまたはヒューリスティック基準を使用することによってのみ実行されてきました。

モデリング手法のほとんどは、基本的に、完全な円筒チューブや 1D 弾性リングなどの強力な幾何学的な仮定に依存しています。さらに、軸方向の事前延伸は一般に無視されます。

この研究では、ランダウの相転移理論 36 に基づいて、管の法則の解析から座屈臨界圧力の値を決定する新しい方法が提案されています。主な仮定は、折りたたみ可能なチューブの座屈状態への移行は自発的な対称性の破れとして説明できるということです。この仮説は、最近、一様な外圧の作用下での弾性リングの座屈挙動が二次相転移であることを証明した Turzi37 の研究で確証されました。この研究の方法論は、実験的に検証された折りたたみチューブの 3D 数値モデルの実装に基づいています。これらのシミュレーションの出力は、生物医学用途に関連する折り畳み式チューブの幾何学的パラメーターの値の範囲を広げることによって得られる一連のチューブ法則で構成されます。相転移理論に基づいた後処理技術を使用して、座屈臨界圧力を推定します。この手法を使用して得られた座屈臨界圧力の幾何学的パラメータへの依存性を式 (1) と比較します。 (1)。最後に、Gregory et al.31 によって提案された無次元変数を使用して、座屈と接触臨界圧力の一般方程式のセットが提示されます。

この研究の目的は、流体の流れがない円筒形の折りたたみ可能な管のより単純な場合における座屈臨界圧力を推定する提案された方法の実現可能性を調査することです。この仮定は、問題の物理的記述の完全性を妨げるものではありません。実際、この方法の主な利点の 1 つは、これ以上の仮定を行わずに、FSI や現実的なジオメトリを含むより複雑なケースに一般化できることですが、これは将来の研究の対象になります。

数値モデルの目的は、外壁が内向きの等方性圧力を受ける折りたたみ式チューブの変位ベクトル場を予測することです。管の形状は、長さと直径の比 d、厚さと直径の比 \(\gamma\)、および得られた長さの間の比 l という 3 つの無次元パラメータの観点から記述されます。軸方向のプレストレッチを課した後の静止長さ。人間の血管に関連した解析を行うために、これらの幾何学的パラメータの値は、Horsfield モデル 19 と Hoppin による研究 20 を使用して選択されました (図 2a の青いボックス)。図２ａに示すように、人間の血管は一般に、ｄの値が低く（すなわち、直径に比べて比較的短い）、および厚さの値が広範囲にわたることを特徴とする。注目すべきことに、軸方向の事前伸長は元の長さの最大 60% の値に達する可能性があるため 20、したがってモデル化スキームでは無視できません。数値シミュレーションは、市販ソフトウェア Siemens Star-CCM+ を使用して実行されます。幾何学的パラメータのトリプレット \((d,\gamma , l)\) (図 2a の黒い点) については、対応するチューブの 3D レプリカが、内蔵 CAD ソフトウェアを使用して実装されます。座屈の方向を制御するために、ドメインの断面は軸比 0.99 の楕円として設計されています (図 2b を参照)。シミュレーションはシステムの座屈前および座屈後の挙動を把握することを目的としているため、このような大きな変形領域を考慮してチューブはネオフック超弾性材料としてモデル化されています (線形弾性理論との比較については「感度解析」を参照)。材料はほぼ非圧縮性として扱われます。メッシュは、ドメインの短辺の 1 つを入力サーフェスとして使用し、構造化ボリューム操作を使用して生成されています。計算ドメインは、2 つの放射状レイヤーと 50 の縦方向レイヤーの六面体メッシュセルで離散化されます。角度方向は 64 個の要素に分割されます (図 2b を参照)。六面体要素を選択すると、線形有限要素を使用しても大きなひずみを正確に推定できます38。タイムステップはすべてのシミュレーションで固定されており、2 次マーチングスキームでは \(\Delta t = 0.1\) s です。解が適切に収束するように、各時間ステップはソルバーの内部反復 10 回に分割されます。純粋な固体力学シミュレーションのコンテキストでは、収束は、解かれた微分方程式の離散化バージョンの残差誤差の観点から測定されます。この研究で使用されたソルバーは、メッシュの各要素の誤差 r を推定し、その二乗平均平方根を \(R_{rms}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _n r^2}\ として計算します) )、n はメッシュセルの数です。この値は、タイムステップ内の 10 回の内部反復ごとに計算され、正規化されます。内部反復回数は、各タイムステップの終了時の残差が \(R_{rms}\sim 10^{-14}\)–\(10^{ のオーダーになるように選択されています。 -16}\) により、数値解の優れた収束が保証されます。問題の境界条件は、次のように課せられます。ドメインの 1 つの短辺がクランプされ、つまり、断面全体の移動が許可されません。ドメインのもう一方の短い辺は、幾何学パラメータ l の値に応じた量だけ事前に引き伸ばされます。続いて、プリストレッチの結果として得られたこの短辺の位置は、シミュレーションの残りの間、固定されたままとなります。ドメインの外壁 (つまり、円筒面) には等方性の正圧がかかり、その結果、壁内に負の圧力が生じます。外部圧力の値は時間の経過とともに直線的に増加し (詳細については「チューブの法則」を参照)、最初にチューブの座屈を引き起こし、最後に内壁の接触を引き起こします。接触は、壁の貫通を避けるために反発仮想平面によって処理されます。内壁が接触点に近づくと、平面はその法線方向に力を及ぼし、その結果、壁は互いに貫通することなく平面上に横たわることになります。

(左パネル) この研究で調査された幾何学的パラメータ値の分布。黒い点はシミュレーションに関連しており、赤い点は Gregory et al.31 の実験データを参照しています。青いボックスは、Horsfield19 と Hoppin20 によるモデルで認められた可能な値の空間を表します。 (右パネル) 数値シミュレーションで使用されたメッシュのスケッチ。座屈の方向を制御するため、チューブの半径方向断面は、短軸が鉛直方向に一致する楕円形であり、長さは0.99rです。

次のサブセクションでは、チューブ則を計算するための後処理方法について説明します。続いて、グリッド収束研究、境界条件、およびモデリングの選択に関する感度分析が示されます。最後に、数値結果の実験的検証について説明します。

管の法則は、壁内圧力と折りたたみ可能な管の中央断面の面積との関係を説明します。壁内圧力は、内圧と外圧の差として定義されます。つまり、次のようになります。

流体の流れがないため、ゲージ圧がゼロおよび \(p_{int}=0\) に設定されているため、壁内圧力は外部圧力の値によってのみ決まります。外部圧力は等方性であり、次の関係に従って時間とともに直線的に増加します。

ここで、 \(p_{max}>0\) は外部圧力と \(t\in [0,\tau ]\) の最大値です。 \(p_{max}/\tau\) の比率に関する感度の研究については、「感度分析」で説明します。各タイムステップで、\(p_{intr} = -p_{ext}\) の値が記録されます。チューブの中央断面は拘束面から最も遠い半径方向断面であるため、最も潰れます。面積の値を決定するために、対応する変形周囲の半径座標 \((r_i^j, \vartheta _i^j)\) が各タイムステップで記録されます。ここで、インデックス \(i=1,\dots) ,N\) はメッシュ要素にラベルを付けます。N は周囲のメッシュ要素の総数です。インデックス \(j=1,\dots ,M\) は j 番目のタイムステップに対応し、M は外部圧力が式の値 \(p_{max}\) に達するのに必要なタイムステップの合計数です。。 (3)。中央断面の面積 \(A^j\) は次のように計算できます。

2 つのセット \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\)、\(\{A^j\}_{j=1}^M\) は管則を定義します。図 2 に示す幾何パラメータ \((d,\gamma ,l)\) の各トリプレットについて、式 2 を使用して管則が計算されます。 (4) 対応する数値シミュレーションから。「座屈臨界圧力」では、管の法則から座屈臨界圧力の値を求めるために、相転移理論に基づいた後処理手法を紹介します。

信頼性の高い結果を得ることができる最も効率的なメッシュを決定するには、グリッド収束解析が必要です。解析は、半径方向、角度方向、および長手方向のメッシュ要素の数を変更することによって実行されます。メッシュ仕様の詳細については、表 1 を参照してください。さまざまなグリッドの評価は、対応するチューブの法則を比較することによって実行されます。結果を図 3 に示します。角度要素の解析 (図 3a を参照) から特に明らかなように、粗いメッシュは座屈遷移を正確に予測しておらず、接触領域で不安定になります。以下のすべての解析では、中間メッシュが使用されています。この選択では、128 コアでのシミュレーション時間は約 15 分になります。

数値モデルのメッシュ感度解析。

チューブの法則の計算が、式 (1) で説明される外部圧力のランプの傾きの影響を受けないようにするためです。 (3) では、比率 \(p_{max}/\tau\) に関する感度分析が実行されます。特に、\(p_{max}=4000\) Pa の値を固定することで、\(\tau \in (10 \, \text { s}, 5 \, \text { s}, 2.5) の 3 つの異なる値が得られます。 \, \text { s})\) は、圧力率 \((400 \, \text { Pa/s}, 800 \, \text { Pa/s}, 1600 \, \text { Pa) に対応して調査されます。 /s})\)、それぞれ。結果は、対応する管の法則に基づいて解釈されます。 \(p_{max}\) の値は、病的な呼吸状態の分析に関連するように選択されています。実際、通常の呼吸状態では、肺胞管と口の間の圧力降下は 2000 Pa 程度です39。ただし、強制呼気の場合、患者の大きさに応じて 4000 ～ 10000 Pa40 の範囲で変動する可能性があります 41。喘息の場合、患者はこの範囲の圧力で喘鳴を伴う強制呼気を示すことが多く、これは肺の気道の虚脱につながります42。図4aに示すように、1600 Pa/sの圧力速度に関連する圧力分解能は粗すぎるため、座屈段階と接触段階の両方でチューブの挙動を捉えることができません。以下のすべての解析では、400 Pa/s に相当する \(\tau\) の最大値が使用されます。

(左のパネル) 外部圧力ランプに対するモデルの依存性の解析。 (右パネル) 線形弾性モデルと Neo-Hookean 弾性モデルを使用して得られたチューブ法則の比較。

折りたたみチューブの座屈前および座屈後の挙動全体に伴う大きな変形を考慮するには、超弾性材料を使用する必要があります43。この分析では、ネオフック物質法則が実装されています。対応するひずみエネルギーポテンシャルは次のようになります。

ここで \(I_1\) は右コーシーグリーン変形テンソルのトレース (第一不変量)、J は変形勾配テンソルの行列式、

ここで、 \(\nu\) と E は、それぞれポアソン比とヤング率です。これら 2 つの弾性パラメータの値は \(\nu =0.49\) と \(E=1\) MPa です。チューブの密度は \(\rho =1000\) kg m\(^{-3}\) です。これらの値は、Gregory 31 の研究で人間の肺の導管の分析に関連すると推定されています。次のサブセクションで説明するように、Neo-Hookean モデルは実験結果を再現できます。 Neo-Hookean 材料と等方性線形弾性材料で得られたチューブ法則の比較を図 4b に示します。線形弾性モデルを使用すると、シミュレーションが不安定になり、座屈後の領域でチューブの法則を捉えることができなくなります。その理由は、プロセスに伴う大きな変形にあります。他の超弾性法則に関して得られた結果の感度を研究することは興味深いかもしれませんが 44、45、46、ネオフック弾性の採用は顕著な数値収束を示しています (「数値モデルと方法」を参照)。実験結果を再現することができました (図 5 を参照)。さらに、他の材料法則では、ネオ・フックの法則に関する追加のパラメータ化分析が必要になる場合があります。ネオ・フックの法則の係数は、式 1 を使用してポアソン比とヤング率から直接計算できます。 (6)。したがって、残りの処理にはネオフック弾性が使用され、異なる材料法則に関する結果の比較が将来の研究の目的となります。

数値モデルによって得られた結果の実験的検証は、Gregory によって提供された (公的に入手可能な) 実験データと比較することによって実行されます 31, 32。使用される実験装置では、折りたたみ可能なチューブが最初に事前に伸長され、次にクランプされます。壁内圧の値は注射器を使用して下げられ、圧力計で監視されます。中央断面の面積の対応する値は、カメラシステムによって複数の位置から撮影された画像を分析することによって計算されます (詳細については、元の論文を参照してください31)。

実験データとの比較による数値モデルの検証31、32。エラーバーを推定するために、初期面積が 3 回測定されます。エラーバーの長さは、対応する最大値と最小値の間の絶対差に等しくなります。

検証は、実験的に得られた管則と数値モデルを比較することによって実行されます。比較に使用された各チューブについて、内蔵 CAD ソフトウェアを使用して Star-CCM+ にデジタルレプリカ (図 2a の赤い点で表示) が実装されます。同じ境界条件 (軸方向の事前ストレッチとクランプ) が課されます。現在のシミュレーションで調査された壁内圧力範囲はさらに大きく、実験で使用された対応する圧力範囲も含まれています。図 5 では、4 つの異なるチューブ形状と伸張前の値との比較が報告されています。システムの座屈前および座屈後の挙動は、数値モデルによってよく把握されます。

このセクションでは、管の法則から座屈臨界圧力の値を決定する方法を示します。主な仮定は、折りたたみチューブの座屈現象は自発的な対称性の破れであり、したがって 2 次の相転移として扱うことができるということです。二次相転移は、システムが継続的に (瞬間的ではなく) 対称性が低下した新しい状態に到達したときに発生します 47。等方性の外圧が回転不変ではない座屈断面形状を生成するという現象学的観察は、この仮説を裏付けています。さらに、管の法則 (図 1 の青丸を参照) から明らかなように、座屈前状態から座屈後状態への遷移は連続的に発生します。 Turzi37 は、より厳密な方法で (そして生物物理学的問題に触発されて)、等方性圧力を受ける弾性伸縮性リングの座屈現象が 2 次の相転移であることを実証しました。 1D リングで得られたこれらの結果を 3D の事前に伸張された折りたたみ可能なチューブに厳密に音訳することはこの研究の範囲を超えていますが、リングの座屈挙動と折りたたみ可能なチューブの中央断面の現象学的類似性は次のとおりです。広く確立されている48。この類似性は、1D 解析結果を 3D 折りたたみチューブの処理に拡張するために何度か利用されています 49, 50。しかし、現在の研究の経済性において、この観察は、この方法の主な前提をさらに裏付ける範囲でのみ役立ちます。折りたたみチューブの座屈は二次相転移です。実際、次のサブセクションで説明する方法論は、幾何学的簡略化を必要とせず、流体の流れが存在する場合でも、呼吸器系および循環器系に関連する人間の導管および血管からインスピレーションを得た、さらなる仮説を立てることなく現実的な幾何学形状に拡張することができます。

二次相転移の熱力学的処理には、2 つの主要な数学的オブジェクトの導入が必要です。それは、系の秩序パラメーター \(\alpha\) とランダウポテンシャル \(\varphi\) です 36 (ランダウの一般的な例)ポテンシャルはシステムの自由エネルギーです)。次数パラメータは、遷移前はゼロとは異なり、遷移後はゼロに等しい熱力学的変数の関数です。典型的な例の 1 つは、強磁性 - 常磁性転移における温度の関数としての磁化です。この平均場理論の定式化の主な仮定は、領域内に長距離相関が存在しないことです。さらに、ランダウポテンシャルは、系の発展を記述する微分方程式の同じ対称性を尊重し、順序パラメーターとその勾配が解析的であることが要求されます 36。その結果、遷移領域では、ランダウポテンシャルは次のように順序パラメーター \(\alpha\) に関してテイラー展開できます。

ここで、 \(c_1>0\) と \(c_2 >0\) は定数、 \(\xi\) は熱力学変数、 \(\xi _{crit}\) は \(\xi の臨界値) です。 \) で遷移が発生します。ランダウポテンシャルを最小化すると、次の次数パラメーターの方程式が得られます。

この方程式には 2 つの解があります (図 6a を参照)。

(左パネル) 式のプロット。 (9) \(\xi _{crit}=1\) および \(\xi <\xi _{crit}\) の場合。 (右パネル) 式 (1) に適合する管則における前処理された座屈遷移領域の詳細。 (10)。 2 つのプロット間の類似性により、仮説の妥当性が裏付けられます。

したがって、遷移の小さな近傍における順序パラメータ \(\alpha\) と熱力学変数 \(\xi\) の間の関係がわかっていれば、 \(\xi _{crit }\) 式を使用して計算します。 (9)。このアプローチの主な制限は、それが遷移の純粋に現象学的記述を提供し、たとえば変動の処理を無視していることです。それにもかかわらず、相転移の臨界点を調査するために効果的に使用することができ、それがまさにこの研究の範囲です。弾性の問題を考慮する場合は、さらに複雑な層を考慮する必要があります。システムの先験的に既知の変形エネルギーはランダウポテンシャルの役割を果たすことができますが、これはもはや関数ではなく、無限次元空間上で定義される関数です。 Turzi37 の研究では、外部等方性圧力を受ける 1D 伸縮リングなど、多くの弾性システムの座屈現象を研究するために、弾性エネルギーを有限次元のランダウポテンシャルに厳密に還元しました。さらに、彼はリングの囲まれた領域が順序パラメータの関数であることを示しました。これらの観察結果は、この研究のコンテキストで使用して、管の法則から折りたたみ可能な管の座屈臨界圧力を推定できます。 Turzi に従って、管の中央断面の面積を次数パラメータの代表的な関数として使用できます。したがって、順序パラメータと壁内圧力 \(p_{intr}\) (式 (9) の変数 \(\xi\) の役割を果たす) との関係は、管の法則を使用して分析できます。この方法論は、式 1 を一般化したチューブの法則のフィッティング手順で構成されます。 (9) この関係は遷移の小さな近傍でのみ有効であるため、チューブの法則のより広い部分に適合することができます。式のいくつかの拡張の中には、 (9) 文献 51 で提案されているように、次の関数が最良の結果を示しています (図 6b を参照)。

ここで \(A_{crit}\) は座屈臨界圧力 \(p_{crit}=-\tilde{p}_{crit}\)、\(c_1>0\) および \ に対応する面積の値です。 (c_2>0\) は 2 つの自由パラメータ \(\tilde{p}=-p_{intr}\) で、\(\beta >0\) は通常臨界指数と呼ばれる追加の自由パラメータです。この分析の結果は、次の手順に従って取得されました。

幾何学的パラメータの任意の三重項 \((d,\gamma , l)\) について (つまり、図 2a の任意のデータ点について)、対応する数値モデルは「数値モデルと方法」に従って実装されます。

対応するチューブの法則、つまり 2 つのセット \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\)、\(\{A^j\}_{j=1}^M\) )、「チューブの法則」で説明したように計算されます。

チューブの法則は前処理されています。この解析は座屈圧力に焦点を当てているため、接触に関する管則の領域は無視されます。さらに、壁内圧力は \(\tilde{p}=-p_{intr}\) の観点から再定義されます。対応するプロットの例は、図 6b の黒い実線として示されています。

scipy.optimize.curve_fit 関数 52 を採用した Python アルゴリズムを使用して、前処理されたチューブ則を式 1 に適合させます。 (10) (図 6b の赤い破線)。 \(A_{crit}\) の値は、近似の品質を最大化するように最適化されます。対応する分散を持つパラメーター \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) の値が抽出されます。

次のサブセクションでは、この解析の結果と座屈臨界圧力の幾何学的パラメーターへの依存性について説明します。

前のセクションで紹介したアルゴリズム手順により、座屈臨界圧力が折りたたみ可能なチューブの幾何学的パラメーターに依存することを研究することができます。システムの接触後の挙動を完全に捉えるために、最大壁内圧力は \(p_{max}=8000\) Pa および \(\tau =20\) s に固定されます。これは圧力の分解能に相当します。 40 Pa (式 (3) を参照)。まず、長さと直径の比 d への依存性を調べます。フィッティング手順によって取得されたパラメーター \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) の数値と対応する分散は、補足データで見つけることができます。臨界指数の平均値は \(\bar{\beta }=0.55\pm 0.07\) で、これは式 (1) の指数の期待値と一致します。 (9)。 \(d\in (3,3.5,4,4.5,5,5.5,6)\) に対して得られた臨界圧力の値を図 7a に示します。 \(p_{crit}\) と長さ対直径の比 d の関係は、次の関数を使用したフィッティング手順によって得られます。

ここで、A、B、C は自由パラメータです。このモデル関数は、式 (1) で説明した \(p_{crit}\) の d に対する同じ関数依存性を模倣します。 (1) および Zarandi35 による作品。結果の値を表 2 に示します。他の幾何パラメータは \(l=1.1\) および \(\gamma =0.06\) に固定されています。興味深いことに、提示された方法で得られた指数 B はフォン・ミーゼス方程式 (1) の指数と誤差内でほぼ一致しますが、Zarandi の推定値は -3.3 です。ただし、図 7a からわかるように、式 7 (1) 人間の血管の対象パラメータの範囲における座屈臨界圧力の値を過大評価します。 Zarandi によって得られた結果との違いは、おそらく彼の研究で採用された座屈臨界圧力のヒューリスティックな定義に遡ることができます 35。相転移理論の文脈では、式(1)は次のようになります。表 2 にリストされているパラメータを使用して評価された式 (11) は、長さ直径比の観点から、折りたたみチューブの非座屈状態と座屈状態の間の境界を定義します (対応する状態図については、図 7b を参照してください \((d 、p_{intr})\))。パラメータ d を広げて分析した管則の視覚化を図 8 に示します。

(左のパネル) 式に適合したシミュレーションデータの比較。 (11) とフォン・ミーゼス方程式。 (右パネル) 長さ直径比 d による座屈相転移の状態図。

長さと直径の比 d の値を広げることによって得られる管法則。黒い点は、座屈臨界圧力の値と、さまざまな管の法則に対して推定された対応する面積を表します。

ここで、座屈臨界圧力の厚さと直径の比 \(\gamma\) への依存性を考えてみましょう。式との近似のパラメータ \((c_1, c_2, {\tilde{p}}_{crit}, \beta )\) の数値は次のようになります。 (10) および対応する分散は補足データにリストされています。臨界指数の平均値は \(\bar{\beta }=0.5\pm 0.04\) であり、式 1 と一致しています。 (9)。 \(\gamma \in (0.05, 0.06,0.07,0.08,0.09)\) に対して得られた臨界圧力の値を図 9a に示します。関係 \(p_{crit}=p_{crit}(\gamma )\) は、次の関数を使用したフィッティング手順によって取得されます。

ここで、A と B は自由パラメータです。このモデル関数は、式 1 で説明した \(\gamma\) と同じ関数依存関係に従います。 (1)。結果の値を表 2 に示します。他の幾何パラメータは \(l=1.1\) と \(d=3\) に固定されます。 von Mises モデルとこの研究で得られた結果の比較を図 9a に示します。この研究で調査された幾何学的パラメータ値（図2aを参照）の場合、フォン・ミーゼス方程式は座屈臨界圧力の値を明らかに過大評価しています。その理由は、薄殻理論を採用したフォンミーゼスモデルの仮定にあります。実際、 \(\gamma\) の値が大きくなるほど、その差は大きくなります。前の分析と同様に、式 (12) は、\((\gamma , p_{intr})\) 状態図における座屈状態と非座屈状態の境界を定義します (図 9b を参照)。パラメータ \(\gamma\) を広げて分析した管の法則を視覚化したものが図 10 です。

(左のパネル) 式に適合したシミュレーションデータの比較。 (12) とフォン・ミーゼス方程式。 (右のパネル) 厚さ直径比 \(\gamma\) による座屈相転移の状態図。

厚さと直径の比 \(\gamma\) の値を広げることによって得られる管の法則。黒い点は、座屈臨界圧力の値と、さまざまな管の法則に対して推定された対応する面積を表します。

最後に、座屈臨界圧力の軸方向の事前伸張長さと直径の比 l への依存性を解析します。式との近似のパラメータ \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) の数値は次のようになります。 (10) および対応する分散は補足データにリストされています。臨界指数の平均値は \(\bar{\beta }=0.55\pm 0.05\) であり、これも式 1 の指数と一致しています。 (9)。 \(l\in (1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8)\) に対して得られた臨界圧力の値を図 11a に示します。関係 \(p_{crit}=p_{crit}(l)\) は、次の関数を使用したフィッティング手順によって取得されます。

ここで、A、B、C は自由パラメータです。この関数は、l の値が大きくなると臨界圧力の値が漸近的に一定になることを観察して選択されました。結果として得られた値を表 2 に示します。座屈臨界圧力の無次元軸方向予伸長 l への依存性を図 11a に示します。 \((l, p_{intr})\) の状態図を図 11b に示します。座屈状態と非座屈状態の境界は式 11b で定義されます。 (13)。パラメータ l を拡張することによって分析されたチューブ法則の視覚化を図 12 に示します。プレストレッチの効果は、プレストレッチの効果が低い壁内圧で明らかです。これは、プレストレッチの値が大きいほど正規化面積の初期値が小さくなるためです。ストレッチパラメータ l。接触領域 (\(-6000\) Pa 付近) で起こる興味深い挙動は、今後の調査の対象となるでしょう。

(左パネル) シミュレーションデータと式 (1) の比較。 (13)。 (右パネル) 伸張前の比 l に関する座屈相転移の状態図。

伸長前の比率 l の値を広げることによって得られるチューブ法則。黒い点は、座屈臨界圧力の値と、さまざまな管の法則に対して推定された対応する面積を表します。

「座屈臨界圧力」で説明されている結果は、折りたたみチューブの座屈前および座屈後の挙動を説明するために使用される物理量間の関数的依存関係を概説しています。ただし、提示される座屈臨界圧力の絶対値は、さまざまな解析中に固定された幾何学的パラメータに依存します。このセクションでは、（合理的な）任意の形状の折りたたみ可能なチューブの座屈臨界圧力の値と対応する面積を推定できる一連の一般方程式を導出します。この方法は、Gregory et al.31 による観察に基づいており、Gregory らは、さまざまなチューブ法則を単一の曲線に近似的に折りたたむことができる一連の無次元変数を実験的に導き出しました。彼らは、壁内圧力 \(p_{intr}\) と中央断面の面積 A を次の無次元形式で再定義することによって、次のことを証明しました。

さまざまな管法則は、単一の無次元の一般的な管法則に崩壊する傾向があります (図 13 を参照)。この主張の正当性は、生物医学的フローの対象となるパラメータ範囲 \((d,\gamma ,l)\) に関して実験的に証明されています 31。

(左のパネル) この作業で分析された一連のチューブ法則。 (右パネル) 式 1 の変換によって得られる、対応する無次元チューブ法則。 (14)。プロットはほぼ 1 行で崩壊します。黒点は、式 (1) のように、無次元座屈臨界圧力の平均値と対応する面積を示します。 (16)。

式 (14) で定義された無次元変数を使用することにより、次の手順が実行され、座屈臨界圧力と対応する面積に関する一連の一般的な無次元方程式が決定されました。

幾何学パラメータの三重項 \((d,\gamma ,l)\) については、対応する数値モデルが「数値モデルと手法」に従って実装されます。

対応するチューブの法則、つまり 2 つのセット \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\)、\(\{A^j\}_{j=1}^M\) )、「チューブの法則」で説明したように計算されます。

座屈臨界圧力の値と対応する面積は、「座屈臨界圧力の推定」で概説した手順を使用して、管の法則から推定されます。

座屈臨界圧力の値と対応する面積は、式 (1) に従って再定義されます。 (14)。

このようにして、座屈臨界圧力の無次元値と対応する面積が、この研究で調査された幾何学的パラメータのセット全体に対して計算されます。つまり、このプロシージャの出力は次の 2 つの値セットになります。

それぞれ、無次元の座屈臨界圧力と座屈臨界領域のセットに対応します。インデックス i は、この研究で分析された幾何学的パラメーターの 3 つの要素に対して実行され、 \(N=20\) はそれらの合計数を示します。図 13 に示すように、式 (1) によって得られる管則は次のようになります。 (14) は正確に 1 行に折りたたまれず、値の比較的小さな分布を示します。式の各セットの平均と対応する標準偏差を計算します。 (15) 座屈臨界圧力と臨界面積については、次の式を得ることができます。

幾何学的パラメーター \((d,\gamma , l)\) の任意の 3 要素が与えられると、式 1 のようになります。 (16) 座屈臨界圧力の値と対応する面積を推定します。

この研究では、検証済みの 3D 数値シミュレーションと相転移理論に基づく後処理技術を使用して、折りたたみチューブの座屈臨界圧力の体系的な研究が行われました。このような臨界圧力の関数的依存性が幾何学的パラメータに関して示されている。最後に、座屈臨界圧力を推定するための一連の一般的な無次元方程式が、管の中央断面の対応する面積とともに導出されています。この研究で提示された方法論により、折りたたみ可能なチューブの座屈臨界圧力の厳密かつ再現可能な推定が可能になります。主な利点は、幾何学的な仮定を必要とせず、折りたたみチューブの座屈を二次相転移として扱うことができるという観察にのみ基づいているため、この方法が他の種類のアプリケーションに適していることです53、54。これは、体液の流れが存在する場合であっても、睡眠時無呼吸患者の咽頭気道などの複雑な患者固有の形状の座屈臨界圧力を推定するために、このアプローチを直接使用できることを意味しており、これはこの研究の自然な継続を表しています。もう 1 つの興味深い視点は、他の超弾性理論の観点から、提示された結果の感度を分析できる可能性です。最後に、接触臨界圧力の詳細な分析が将来の研究の目標となります。

この作業で使用されているアルゴリズムは、https://github.com/MarcoLaud/CollapsibleTube で見つけることができます。シミュレーションデータは、この作品の責任著者に連絡することにより、合理的な要求に応じて提供できます。

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このプロジェクトは、バイオメカニクス、健康、バイオテクノロジー (BHB) のテーマ分野における KTH Engineering Mechanics とスウェーデン研究評議会助成金 VR 2020-04857 によって資金提供されています。著者らは、PRACE が CINECA の Fenix インフラストラクチャリソースへのアクセスを付与したことを認めます。このインフラストラクチャリソースの一部は、助成契約番号 800858 に基づく ICEI プロジェクトを通じた欧州連合の Horizon 2020 研究およびイノベーションプログラムから資金提供されています。シミュレーションは部分的にスウェーデン国立ネットワーク上で実行されました。ハイパフォーマンスコンピューティング PDC センター (PDC-HPC) のコンピューティングインフラストラクチャ (SNIC) リソース。著者らは、相転移理論に関する有意義な議論をしていただいた E. Nocerino 博士に感謝したいと思います。

王立工科大学が提供するオープンアクセス資金。

KTH 王立工科大学 FLOW 研究センター工学力学部門、10044、ストックホルム、スウェーデン

マルコ・ラウダート、ロベルト・モスカ、ミハイ・ミハエスク

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ML はシミュレーションと後処理技術を考案しました。 RM はシミュレーションの実施に協力しました。 MM はプロジェクトを開始し、結果の分析に協力しました。著者全員が原稿をレビューしました。

マルコ・ラウダートへの通信。

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転載と許可

Laudato, M.、Mosca, R. & Mihaescu, M. 生物医学の流れに関連する折り畳み式チューブ内の座屈臨界圧力。 Sci Rep 13、9298 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-36513-6

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受信日: 2023 年 4 月 12 日

受理日: 2023 年 6 月 5 日

公開日: 2023 年 6 月 8 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-36513-6

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